موضوع مباراة أساتذة التعليم الثانوي بسلكيه الإعدادي والتأهيلي (التوظيف بموجب عقود) – وزارة التربية الوطنية – الأكاديميات الجهوية للتربية والتكوين 2017

الجزء الأول (ديداكتيك)

1- المستوى والدرس: السنة الثالثة من التعليم الثانوي الإعدادي؛ درس «الحساب المثلثي» (جيب وظل زاوية حادة والعلاقات بينها).

2- المفاهيم الأساسية:

• جيب الزاوية الحادة وظلها كنسب لا تتعلق بالنقطة المختارة (امتداد لجيب التمام المدروس في الثانية إعدادي).
• استعمال المحسبة لحساب نسبة مثلثية أو قياس زاوية انطلاقا من نسبتها (sin⁻¹ ، tan⁻¹).
• العلاقات الأساسية: 0 < sin x < 1 ، cos²x + sin²x = 1 ، tan x = sin x / cos x.
• النسب المثلثية لزاويتين متتامتين: sin x = cos(90° − x) و tan x × tan(90° − x) = 1.

3- معالجة ديداكتيكية لكل نشاط:

• النشاط 1: يمهد له بتذكير جيب التمام وخاصية طاليس. يشتغل التلاميذ في مجموعات على شكل مرسوم، يقيسون ويحسبون النسب ثم يبرهنون على تساويها بطاليس (المستقيمات (EF) و(MN) و(M'N') متوازية لأنها عمودية على (Ay)). تؤسس المأسسة بعد ذلك تعريفي sin α و tan α. القدرات: توظيف خاصية طاليس، البرهان، التجريد والانتقال من حالة خاصة إلى تعريف عام.
• النشاط 2: تقديم المحسبة (وضعية الدرجات DEG) ثم إنجاز فردي للحالات الثلاث مع مقارنة النتائج ومناقشة التقريب. القدرات: الاستعمال السليم للأداة التكنولوجية، التمييز بين القيمة المضبوطة والقيمة المقربة.
• النشاط 3: يعبر التلاميذ عن cos x و sin x بدلالة الأضلاع ثم يستعملون مبرهنة فيتاغورس (AB² + AC² = BC²) ومقارنة الوتر بالضلعين. القدرات: الحساب الحرفي، توظيف فيتاغورس، استنتاج علاقات عامة.
• النشاط 4: حساب عددي على مثلث 3-4-5 ثم ملاحظة أن جيب إحدى الزاويتين يساوي جيب تمام الأخرى وأن ظليهما مقلوبان. القدرات: الحساب، الملاحظة، صياغة تخمين ثم تعميمه على زاويتين متتامتين.
• يختم بتقويم تكويني قصير ومعالجة صعوبات متوقعة: الخلط بين الضلع المجاور والمقابل، ونسيان ضبط المحسبة على الدرجات.

الجزء الثاني

1- تطور مفهوم الزاوية في السلك الإعدادي (à vérifier حسب المقرر الرسمي المعمول به):

• الأولى إعدادي: الزاوية وقياسها بالمنقلة وأنواعها، الزوايا المتحادية والمتتامة والمتكاملة والمتقابلة بالرأس، الزوايا المكونة من مستقيمين متوازيين وقاطع، المنصف، مجموع زوايا المثلث.
• الثانية إعدادي: المستجد هو الربط بين الزاوية والأطوال عبر جيب تمام زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية، واستعمال زوايا المثلثات في الإزاحة والتماثل.
• الثالثة إعدادي: المستجدات: الحساب المثلثي (sin و tan والعلاقات)، الزاوية المحيطية والزاوية المركزية، تشابه المثلثات.

2- التعاريف والخاصيات:

• أ) زاويتان متحاديتان: لهما نفس الرأس وضلع مشترك وتقعان من جهتين مختلفتين بالنسبة لهذا الضلع؛ قياس الزاوية المكونة منهما هو مجموع قياسيهما (الأولى إعدادي، وتستعمل في الحساب على الزوايا).
• ب) زاويتان متقابلتان بالرأس: ضلعا إحداهما امتداد لضلعي الأخرى؛ لهما نفس القياس (الأولى إعدادي، وتستعمل في البرهان على التوازي وعلى تساوي الزوايا).
• ج) زاوية محيطية: رأسها على الدائرة وضلعاها يحملان وترين؛ قياسها يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس، والزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس متقايسة (الثالثة إعدادي).
• د) زاوية مركزية: رأسها مركز الدائرة؛ تستعمل لحساب الزوايا المحيطية والمضلعات المنتظمة (الثالثة إعدادي).
• هـ) منصف زاوية: نصف المستقيم الذي يقسمها إلى زاويتين متقايستين؛ كل نقطة منه متساوية البعد عن ضلعي الزاوية؛ منصفات المثلث تتلاقى في مركز الدائرة المحاطة (الأولى والثانية إعدادي).
• ي) تشابه المثلثات: إذا كانت زاويتان من مثلث تقايسان زاويتين من مثلث آخر فالمثلثان متشابهان وأطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة (الثالثة إعدادي).

الجزء الثالث

1- المثلث BCE متساوي الأضلاع، إذن BE = BC = AB = 10 و EBC = 60°، ومنه ABE = 90° − 60° = 30°.
المثلث ABE متساوي الساقين في B، إذن BAE = BEA = (180° − 30°)/2 = 75°.
ارتفاع المثلث BCE هو 10×√3/2 = 5√3، إذن BK = 5√3 و AK = 10 − 5√3، و KE = 5 (المسقط العمودي لـ E على (AB) يبعد 5 cm عن B على (BC)، أي KE = BC/2).
في المثلث AKE القائم الزاوية في K: AEK = 90° − 75° = 15°، إذن:
tan(15°) = AK / KE = (10 − 5√3)/5 = 2 − √3.

2- سلسلة أسئلة متدرجة مقترحة:

• احسب EBC ثم استنتج ABE.
• بين أن المثلث ABE متساوي الساقين ثم احسب BAE و BEA.
• لتكن K المسقط العمودي لـ E على (AB). احسب KE ثم BK (بفيتاغورس في المثلث BKE).
• استنتج AK.
• احسب AEK ثم بين أن tan(15°) = 2 − √3.
• تحقق باستعمال المحسبة من القيمة المقربة (≈ 0,268).

موضوع في مادة الرياضيات

• Q1 – (b) et (c) : pour n ≥ 1, |u_n| ≤ 1, donc la suite est bornée par max(|a|, 1). De plus, si u_1 > 0, la suite est positive et décroissante (sin x < x sur ]0, 1]), si u_1 < 0 elle est négative et croissante : elle converge toujours (vers 0). Elle n'est pas toujours croissante ni toujours décroissante.
• Q2 – (b) : la suite est bornée, et une limite l vérifie l = sin l, donc l = 0.
• Q3 – (b) : 1/sin²x − 1/x² = (x² − sin²x)/(x² sin²x), avec sin²x = x² − x⁴/3 + o(x⁴), d'où γ = (x⁴/3)/x⁴ → 1/3.
• Q4 – (d) : u_n → 0 et u_n > 0, donc 1/u_{n+1}² − 1/u_n² → γ ; par Cesàro, 1/(n u_n²) → γ, soit u_n ~ √(1/(γn)).
• Q5 – (b) : I_0 = [−e^{−2x}/2]_0^1 = 1/2 − e^{−2}/2 ; par parties, I_1 = [−(1−x)e^{−2x}/2]_0^1 − ∫_0^1 e^{−2x}/2 dx = 1/2 − (1 − e^{−2})/4 = 1/4 + e^{−2}/4.
• Q6 – (b) et (d) : I_{n+1} − I_n = −∫_0^1 x(1−x)^n e^{−2x} dx ≤ 0 et I_n ≥ 0 : suite décroissante et minorée, donc convergente.
• Q7 – (b) et (d) : S_{2n+2} − S_{2n} = −1/(4n+3) + 1/(4n+5) < 0 ; S_{2n+1} est croissante (donc (c) faux) ; les sommes partielles d'une série alternée de premier terme 1 restent comprises entre S_1 = 2/3 et S_0 = 1, donc S_n > 0.
• Q8 – (b) et (d) : S_n = ∫_0^1 Σ(−t²)^k dt = ∫_0^1 (1 − (−t²)^{n+1})/(1+t²) dt = ∫_0^1 dt/(1+t²) + (−1)^n ∫_0^1 t^{2n+2}/(1+t²) dt ; (d) est la même expression écrite avec −(−1)^{n+1}.
• Q9 – (b) : 0 ≤ ∫_0^1 t^{2n+2}/(1+t²) dt ≤ 1/(2n+3) → 0, donc S_n → arctan 1 = π/4.
• Q10 – (a) et (c) : de a_n p^n + … + a_0 q^n = 0 on tire q | a_n p^n et p | a_0 q^n, puis Gauss (p ∧ q = 1) donne q | a_n et p | a_0.
• Q11 – (b) et (c) : cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ avec θ = π/9 donne 1/2 = 4α³ − 3α, soit 8α³ − 6α − 1 = 0. Par Q10, les seules racines rationnelles possibles sont ±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8, et aucune ne convient : α est irrationnel.
• Q12 – (c) et (d) : (a a ; a a) × (b b ; b b) = (2ab 2ab ; 2ab 2ab). Le neutre vérifie 2a·e = a, donc e = 1/2 ; le symétrique de a est 1/(4a) ; la loi est associative et commutative. Aucun élément de E n'est inversible dans M_2(ℝ) (déterminant nul), et I_2 ∉ E.
• Q13 – (a) : σ = h ∘ s avec s : z ↦ z̄ (symétrie d'axe (Ox)) et h : z ↦ −3z + 4 − 2i, homothétie de rapport −3 et de centre ω = 1 − i/2.
• Q14 – (a) et (c) : σ(I) : −3(−1) + 4 − 2i = 7 − 2i, rayon 3×1 = 3 ; B(−1 + i) ∈ C et σ(B) = −3(−1 − i) + 4 − 2i = 7 + i, donc A ∈ C'.
• Q15 – (a) et (c) : AN→ = (1/2)AM→ ; NP→ = (1/2)AB→ (droite des milieux).
• Q16 – (c) : avec G = bar{(A,3),(B,2)} et G' = bar{(C,2),(D,3)}, la condition devient 5MG = 5MG', soit MG = MG' : c'est le plan médiateur de [GG'] (G ≠ G' car G ∈ (AB), G' ∈ (CD) et ABCD est un tétraèdre).
• Q17 – (a) et (c) : (D2) : x = t, y = t, z = 1 − 2t. Les vecteurs directeurs (−2,1,1) et (1,1,−2) sont orthogonaux à n(1,1,1), donc les deux droites sont parallèles à (P). Le système 1 − 2t = s, 1 + t = s, 2 + t = 1 − 2s n'a pas de solution et les directions ne sont pas colinéaires : les droites sont non coplanaires. Le point (2,2,3) n'est pas sur (D2), donc (b) est faux.
• Q18 – (b) et (c) : incompatibles : P(B) = 3/10 ; indépendants : 1/2 = 1/5 + (4/5)P(B), soit P(B) = 3/8 ; A ⊂ B : P(B) = P(A ∪ B) = 1/2 ; B ⊂ A donnerait P(A ∪ B) = 1/5.
• Q19 – (b) : il y a C(n,2) = n(n−1)/2 paires de places équiprobables, dont n − 1 sont consécutives : P(A) = 2/n.
• Q20 – (c) : il y a n − 2 paires de places de la forme (i, i+2) : P(B) = 2(n−2)/(n(n−1)).