موضوع مباراة مباراة توظيف أساتذة التعليم الثانوي الأطر النظامية للأكاديميات – وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي والرياضة – المركز الوطني للتقويم والامتحانات 2022

Projet de corrigé – QCM de mathématiques (100 questions)

• Q1 : C – f(x) = f(1) + ∫ f' et f' → 2, donc f(x)/x → 2 (règle de L'Hôpital / Cesàro).
• Q2 : C – Somme de chaque ligne = 4 donc 4 est valeur propre ; det M = 0 donc 0 est valeur propre ; trace = 5 donne la 3ᵉ valeur propre 1.
• Q3 : A – ln(n(n+2)/(n+1)²) = ln(n/(n+1)) − ln((n+1)/(n+2)) : série télescopique de somme ln(1/2) = −ln2.
• Q4 : aucune proposition exacte (à vérifier) – J = ∫ th²x dx = ∫ (1 − 1/ch²x) dx = ln2 − th(ln2) = ln2 − 3/5 ≈ 0,09. La proposition B (3/5 − ln2) en est l'opposé : erreur probable dans l'énoncé ou les propositions.
• Q5 : D – z ↦ 2iz + 1 est une similitude directe de rapport 2 et d'angle π/2 (centre (1+2i)/5) : composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre.
• Q6 : A – « un seul » = (E et non F) ou (non E et F), événements incompatibles.
• Q7 : B – Les valeurs propres d'une matrice triangulaire réelle sont ses coefficients diagonaux, donc réelles (contre-exemple pour A et C : I₃).
• Q8 : B – aⁿ/(1+bⁿ) ~ (a/b)ⁿ car b > 1, d'où R = b/a.
• Q9 : B – tr M = 0, det M = 1 donc M² + I = 0 (Cayley-Hamilton), M⁴ = I ; 2025 = 4×506 + 1 donc M²⁰²⁵ = M.
• Q10 : D – Coefficients par la méthode des pôles : en 1 : 2/((−1)(−2)) = 1 ; en 2 : 5/((1)(−1)) = −5 ; en 3 : 10/(2×1) = 5.
• Q11 : D – Avec J = (1 1 ; 1 1), J² = 2J ; le neutre e = xJ vérifie 2x = 1 soit e = ½J, qui n'est pas proposé (de plus x = 0 doit être exclu).
• Q12 : C – n = (2,1,−2), ‖n‖² = 9, valeur en M : −9 ; M' = M − 2(−9/9)n = M + 2n = (4,2,−3).
• Q13 : C – f strictement décroissante de limite 0 en +∞ implique f(x) > 0 pour tout x.
• Q14 : D – ln(1+x) = ln x + 1/x − 1/(2x²) + … donc ln(1+x)/x = ln x/x + 1/x² + o(1/x²) : a = b = 1, a + b = 2.
• Q15 : B – Im φ = ensemble des matrices symétriques, de dimension n(n+1)/2.
• Q16 : C – tan2x − 2tanx ~ 2x³ donc numérateur ~ 2x⁴ ; (1 − cos2x)² = 4sin⁴x ~ 4x⁴ ; limite 1/2.
• Q17 : A (à vérifier) – (A∩B̄)∪(A∩C̄) ⊂ A, donc son intersection avec Ā est vide et le complémentaire de l'ensemble vide est E (lecture de la barre sur toute l'expression à confirmer sur l'original).
• Q18 : A – Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire (Cauchy-Schwarz) : vecteurs positivement liés.
• Q19 : A – (x − x³/6)(x − x²/2 + x³/3) = x² − x³/2 + o(x³).
• Q20 : B – det A = det A⁻¹ = 1/det A donc (det A)² = 1.
• Q21 : C – Σ 1/(2n)² = π²/24, donc la somme sur les impairs vaut π²/6 − π²/24 = π²/8.
• Q22 : B – Si Q est le polynôme minimal de la restriction de φ à Im φ (degré ≤ p), alors Q(φ)∘φ = 0, donc le polynôme minimal divise XQ : degré ≤ p + 1.
• Q23 : D – Limite 1 selon l'axe y = 0 et 2 selon l'axe x = 0 : pas de limite.
• Q24 : D – Green-Riemann : ∮ x dy − y dx = 2 × aire = 2 × 1 = 2.
• Q25 : C – 1234 ≡ 2 et 4321 ≡ 2 [7] ; 2³ ≡ 1 [7] ; 4321 ≡ 1 et 1234 ≡ 1 [3] ; reste 2 + 2 = 4.
• Q26 : A – En divisant par z : (w+1)/(w−1) réel avec w = z + 1/z, donc w réel ; pour z non réel cela impose |z| = 1.
• Q27 : A – Sur la courbe : f(1) = 2 et f'(1) = 0 (tangente horizontale) ; g'(1) = (f'(1) − 2f(1))/1 = −4.
• Q28 : B – (xyz)⁻¹ = z⁻¹y⁻¹x⁻¹.
• Q29 : D – Pour P à coefficients entiers, 8 − 5 = 3 divise P(8) − P(5) = 7 : impossible, donc 0 polynôme.
• Q30 : B – Changement t = 1/u : f(1/x) = ∫₁ˣ ln u/(u(u+1)) du ; la somme donne ∫₁ˣ ln u/u du = ln²x/2.
• Q31 : C – Points critiques (0,0) et (1,1) ; en (1,1) : r = t = −6, s = 3, rt − s² = 27 > 0 et r < 0 : maximum local ((0,0) est un point-selle).
• Q32 : A – d(det)_A(H) = a₁₁h₂₂ + a₂₂h₁₁ − a₁₂h₂₁ − a₂₁h₁₂ = 0 − 2 + 1 − 2 = −3.
• Q33 : B – Coefficient de variation : Q ≈ 0,0094 > P ≈ 0,0018 ; (A et C portent sur médiane/quartiles non fournis).
• Q34 : D – GLₙ = det⁻¹(ℝ*) est ouvert ; A − (1/k)I est inversible pour k grand, donc dense.
• Q35 : B – u+v ⊥ u∧v donc (1+c)/2 + (1 − c²) = 1 avec c = u·v, d'où c = −1/2 (non colinéaires) ; ‖u∧v‖ = √3/2 = ‖(u−v)/2‖.
• Q36 : C – La différentielle de M ↦ M² en A est H ↦ AH + HA = (−2 4 ; 2 1) + (2 −1 ; −4 −3) = (0 3 ; −2 −2) (l'énoncé note f puis dg : coquille).
• Q37 : A – Y ∪ A = X ∪ A ⇔ Y∖A = X∖A, la partie Y∩A étant quelconque.
• Q38 : B – φ(u,v) = 3ax − by − 2(az + cx).
• Q39 : D – On retire la composante sur u : x − (⟨x|u⟩/‖u‖²)u.
• Q40 : B – X ~ B(128 ; 1/4), V = 128 × 1/4 × 3/4 = 24.
• Q41 : C – ⟨xᵏ⟩ est d'ordre n/pgcd(n,k) ; égalité ⇔ pgcd(n,2) = pgcd(n,3), ce qui impose n premier avec 6.
• Q42 : B – Aucune famille libre de 3 vecteurs donc dim E ≤ 2.
• Q43 : C – Une partie dense de ℝ n'est pas bornée (ℝ est ouvert et fermé dense, ℚ est de complémentaire dense).
• Q44 : C – f continue bijective de ℝ dans ℝ est un homéomorphisme : elle conserve la densité dans les deux sens.
• Q45 : A (à vérifier) – ℝⁿ étant connexe, ses seules parties ouvertes et fermées sont ∅ et ℝⁿ. Remarque : B (ouverte et compacte) est aussi impossible (compact ⇒ fermé), la question admet donc deux réponses.
• Q46 : D – 2 + 2u·v = 3 donc u·v = 1/2 ; ω·v = u·v + 2 + 0 = 5/2.
• Q47 : B – X³ − X = X(X−1)(X+1) est scindé à racines simples sur ℝ.
• Q48 : B – L'image continue d'un connexe par arcs est connexe ; les connexes de ℤ sont les singletons.
• Q49 : D – n ↦ 2n est un isomorphisme ; (ℝ*,×) et (ℂ*,×) ont des éléments d'ordre fini, ℚ n'est pas monogène.
• Q50 : B – Asymptotes y − 2 = ±x/2.
• Q51 : A – φ(x) = 0 ⇒ φ²(x) = 0.
• Q52 : C – sup sur ℝ₊* de n^α e^(−nx) = n^α ; convergence normale ⇔ Σ n^α converge ⇔ α < −1.
• Q53 : A – f nilpotent d'indice 3 en dimension 3 : rang f = 2, rang f² = 1.
• Q54 : A – ∂f/∂x(0,0) = lim e^h ln(1+h)/h = 1 ; ∂f/∂y(0,0) = lim ln(1−3h)/h = −3 ; somme −2.
• Q55 : C – Produit de Cauchy de Σ xⁿ/n = −ln(1−x) par Σ xⁿ = 1/(1−x).
• Q56 : B – N = 75, moyenne = 150/75 = 2, E(X²) = 426/75 = 5,68, variance 1,68, σ ≈ 1,30, CV ≈ 0,65.
• Q57 : B – uₙ = n(n+1)/(2(1−n²)) = n/(2(1−n)) → −1/2.
• Q58 : A – Parseval appliqué à f − g : ‖f − g‖² = Σ|Cₙ(f − g)|² = 0, et f − g continue donc nulle.
• Q59 : C – Pour x > 0 le dénominateur ne s'annule pas ; à l'infini 1/(tˣ + cos t) ~ 1/tˣ intégrable ⇔ x > 1 ; pour x = 0, 1 + cos t s'annule.
• Q60 : D – Wilson : 60! ≡ −1 [61] et 60! ≡ (−1)³⁰(30!)² = (30!)², donc n ≡ −1 + 71 = 70 ≡ 9 [61].
• Q61 : D – Avec F = E : P_E(E) = 1 = P(E) ; réciproquement si P(E) = 1, P(E∩F) = P(F).
• Q62 : D – y(t) = 2 exp(∫₀ᵗ φ), φ ≥ 0 : limite finie ⇔ ∫₀^∞ φ converge.
• Q63 : C – f(x) = Re(e^(e^(ix))) = Re Σ e^(inx)/n! = Σ cos(nx)/n!.
• Q64 : B – C'est le noyau du morphisme d'anneaux P ↦ P(1) (idéal (X−1)) ; A et C ne sont pas stables par somme ou par produit par X.
• Q65 : B – 1 − (1/2)ⁿ ≥ 0,999 ⇔ 2ⁿ ≥ 1000 ⇔ n ≥ 3/log2 ≈ 9,96, donc n = 10.
• Q66 : C – (1−k)(1+k)(1+k²)…(1+k^(2ⁿ)) = 1 − k^(2ⁿ⁺¹) → 1, donc la limite vaut 1/(1−k).
• Q67 : C – Une matrice symétrique réelle est diagonalisable ; si elle est nilpotente elle est nulle.
• Q68 : B – Cauchy-Schwarz : ∫ x f ≤ (∫x²)^(1/2) = 1/√3, atteint pour f(x) = √3 x.
• Q69 : D – 2/(e^(2x) − 1) = 1/x − 1 + o(1), donc f(x) → 1.
• Q70 : D – det M = sin(x−y) + sin(y−z) + sin(z−x) = 4 sin((y−x)/2) sin((z−x)/2) sin((y−z)/2) (vérification avec x = 0, y = π/2, z = π : det = 2).
• Q71 : B – Σ (x^(3/2))²ⁿ/(2n)! = ch(x^(3/2)) pour x ≥ 0.
• Q72 : C – P(E∩F) = 1/3 − 1/6 = 1/6 ; P(E∪F) = 1/3 + 2/5 − 1/6 = 17/30 ; P(Ē∩F̄) = 13/30.
• Q73 : D – u = ln x : ∫(2a→∞) 2a/(u² − a²) du = [ln((u−a)/(u+a))] = 0 − ln(1/3) = ln3.
• Q74 : A – g'(x) = f'(x) · f⁻¹(f(x)) = x f'(x).
• Q75 : B (identique à D) – f = Im(e^((√3+i)x)) avec √3 + i = 2e^(iπ/6), d'où f⁽ⁿ⁾ = 2ⁿ e^(x√3) sin(x + nπ/6). Les propositions B et D sont identiques.
• Q76 : B – Pythagore : p(x) ⊥ x − p(x).
• Q77 : A – J est le radical de I : stable par somme (binôme de Newton) et par multiplication.
• Q78 : D – Les matrices nilpotentes sont de trace nulle, elles engendrent au plus l'hyperplan des matrices de trace nulle.
• Q79 : B – (f(a+2h) − f(a+h))/h → 2f'(a) − f'(a) = f'(a).
• Q80 : D – f(0) = 5, f(1) = 7 ; ∫₅⁷ f⁻¹ = 1×7 − 0×5 − ∫₀¹ f = 7 − (1/6 + 1/2 + 5) = 4/3.
• Q81 : A – b ≠ 0 donc M n'est pas scalaire : son polynôme minimal est de degré 2, réel, divise X³ − 1 : c'est X² + X + 1, donc tr M = −1.
• Q82 : C – X² n'est pas à racines simples donc f n'est pas diagonalisable.
• Q83 : B – ∫ n/(1+x)ⁿ = n/(n−1) et ∫ n²x/(1+x)ⁿ = n²/((n−1)(n−2)) ; limite 1 + 1 = 2.
• Q84 : A – E(1/(1+X)) = (1 − e^(−λ))/λ = (1 − 1/3)/ln3 = 2/(3ln3).
• Q85 : C – Ker(u − Id) ⊂ Ker(u² − Id) ∩ Ker(u³ − Id) = {0} (somme directe), donc 1 n'est pas valeur propre.
• Q86 : D – P ⇒ Q évident ; contre-exemple pour la réciproque : f = 0 sur ℝ⁻ et f = 1 sur ℝ⁺*.
• Q87 : B – a − 1 = qb + r : abⁿ − 1 = qbⁿ⁺¹ + ((r+1)bⁿ − 1) avec 0 ≤ (r+1)bⁿ − 1 < bⁿ⁺¹.
• Q88 : aucune proposition exacte (à vérifier) – En polaires : ∫(−π/2→π/2) cos²θ dθ × ∫(1→√2) r³ dr = (π/2)(3/4) = 3π/8. La proposition B (3π/4) correspond à l'anneau complet (sans la condition x ≥ 0).
• Q89 : A – arctan h = h − h³/3 + o(h³) et h/(1 + θ²h²) = h − θ²h³ + o(h³), donc θ² → 1/3, θ → √3/3.
• Q90 : D – MA + MB ≥ AB = 2 > 1 : ensemble vide.
• Q91 : A (à vérifier) – A(A − I) = −I et A − I = A², d'où (det A)³ = (−1)ⁿ = −1, det A = −1. Remarque : X² − X + 1 n'ayant pas de racine réelle, une telle matrice réelle n'existe pas pour n impair ; la réponse attendue est sans doute A.
• Q92 : B – AB + BA = 0, donc (A+B)² = A² + AB + BA + B² = A² + B².
• Q93 : A – G cyclique n'implique pas que a soit un générateur (ex. a = e).
• Q94 : C – Loi géométrique de paramètre 1/2 : P(X ≤ 3) = 1 − (1/2)³ = 7/8.
• Q95 : B – ∫₁² (y² − y) dy = 7/3 − 3/2 = 5/6.
• Q96 : A – On prend le plus petit élément strictement positif de G et on utilise la division euclidienne.
• Q97 : D – Si uₙ₊₁/uₙ → 1/2 < 1, alors uₙ₊₁ < uₙ à partir d'un certain rang.
• Q98 : C – Noyau d'une forme linéaire non nulle sur ℝ₄[X] (dimension 5) : dimension 4.
• Q99 : B – Éléments d'ordre 2 : 10 transpositions + 15 doubles transpositions = 25.
• Q100 : B – X⁴ + X³ + 2X² + X + 1 = (X² + 1)(X² + X + 1) n'a aucune racine réelle ; le polynôme caractéristique (degré n) n'a donc pas de racine réelle, d'où n pair.