موضوع مباراة مباراة ولوج المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين لتوظيف أساتذة التعليم الثانوي من الدرجة الثانية – وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي والرياضة – المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين 2023

Projet de corrigé (QCM)

• Q1 – D. u_n → e et deux suites adjacentes ont la même limite (v_n décroissante). B donne e − 1.
• Q2 – A. 561 = 3×11×17 et 2, 10, 16 divisent 560 : par Fermat, a^561 ≡ a modulo 3, 11 et 17, donc modulo 561 (nombre de Carmichael).
• Q3 – D. Topologie cofinie : les fermés sont les parties finies et ℝ. ℕ est infini, donc son seul fermé le contenant est ℝ.
• Q4 – A. A^k = A² pour k ≥ 2, donc e^A = I + A + (Σ_{k≥2} 1/k!) A² = I + A + (e−2)A².
• Q5 – D. Convergence en |z| = 5 ⇒ R ≥ 5 ; divergence en |4+3i| = 5 ⇒ R ≤ 5.
• Q6 – C. Normale ⇒ uniforme ⇒ simple.
• Q7 – A. Règle de Cauchy : (u_n)^{1/n} = ((n+a)/(n+2))^n → e^{a−2} < 1 ⇔ a < 2 ; si a = 2 le terme général vaut 1.
• Q8 – D. V(X) = (n²−1)/12 = 574 ⇒ n² = 6889 ⇒ n = 83.
• Q9 – B. 0 ≤ e^{−x²} ≤ 1 sur [0,1], donc 0 ≤ u_n ≤ ∫_0^1 x^n dx = 1/(n+1).
• Q10 – C. Trigonalisable sur ℝ ⇔ polynôme caractéristique scindé sur ℝ ; X²+1, X²+X+2 et X²+2X+3 n'ont pas de racine réelle.
• Q11 – D. pgcd(18,15) = 3 ; 11 ≡ 2 [3] mais 4 ≡ 1 [3] : système incompatible.
• Q12 – D. ln du terme = (1/n) Σ_{k=1}^{n} ln(1 + k/n) → ∫_0^1 ln(1+x) dx = 2 ln 2 − 1, d'où la limite 4/e.
• Q13 – C. En appliquant p : 2p(x) = p(a), donc x = a − p(a)/2 (le document écrit « a ∈ ℝ », il faut lire a ∈ E).
• Q14 – C. q = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz.
• Q15 – B. √(1+2x) = 1 + x − x²/2 + x³/2 + o(x³) ; on soustrait cos x = 1 − x²/2 + o(x³) et sin x = x − x³/6 + o(x³) : f(x) = (1/2 + 1/6)x³ = (2/3)x³.
• Q16 – C. M ↦ AM est une bijection (axiome des espaces affines).
• Q17 – B. En x = 1/4 : 1/4 = 1/2 − (1/π) Σ sin(nπ/2)/n = 1/2 − (1/π) Σ (−1)^k/(2k+1), donc la somme vaut π/4.
• Q18 – C.
• Q19 – B. Le triangle plein MNP.
• Q20 – D. Le déterminant de la famille dans (u,v,ω) vaut 1 + m³ ; il est non nul ⇔ m ≠ −1.
• Q21 – C. S_A∘t_u∘S_A(M) = 2A − (2A − M + u) = M − u. D est faux : S_A∘S_B = t_{2BA} = t_{−2u}.
• Q22 – A.
• Q23 – B. En polaires : ∫_0^{2π} ∫_1^2 (1/r) dr dθ = 2π ln 2.
• Q24 – B. 2/((x+1)(x+2)(x+3)) = 1/(x+1) − 2/(x+2) + 1/(x+3), de primitive ln[(x+1)(x+3)/(x+2)²], qui tend vers 0 en +∞ et vaut ln(3/4) en 0 : intégrale = ln(4/3).
• Q25 – A. E(1/X) = Σ_{k≥1} (1/k)(1/2)^k = −ln(1 − 1/2) = ln 2.
• Q26 – C. (1/π)(arctan 1 − arctan 0) = 1/4.
• Q27 – B. P_A est une probabilité et B, C sont incompatibles.
• Q28 – C. Convergence ⇔ 2α − 4 > 1 ⇔ α > 5/2 ; seul 23/9 ≈ 2,56 convient (5/2 donne 1/x, divergente).
• Q29 – A. f = argsh, f'(x) = 1/√(1+x²) ; le rapport vaut e^{f(a)−f(b)} = e^{(a−b)f'(c)} (accroissements finis).
• Q30 – C. La perpendicularité n'est ni réflexive ni transitive.
• Q31 – A. ln(1+x) − ln(1−x) = 2(x + x³/3) + o(x³).
• Q32 – D. e^z = 1 ⇔ z ∈ 2iπℤ.
• Q33 – (à vérifier). Telles qu'écrites, aucune des quatre parties n'est convexe (pour D : (−1,1) et (1,1) sont dans l'ensemble, mais pas le milieu (0,1)). La réponse attendue est probablement D si l'énoncé original est y ≥ x² (épigraphe d'une fonction convexe).
• Q34 – B. g(x) = e^x − x³ − x² − x − 2 : g(−2) > 0, g(−1) < 0, g(0) = −1, g(5) < 0, g(6) > 0 ; donc une racine dans ]−2,−1[ et une dans ]5,6[, de produit négatif (l'unicité de chacune est à justifier par l'étude de g').
• Q35 – D.
• Q36 – A. Avec t = nx : ∫_0^{+∞} f(t/n) e^{−t} dt → f(0) (convergence dominée, f bornée).
• Q37 – C. C'est la contraposée : non(non Q et R) = (Q ou non R).
• Q38 – B. (z1,z2,z3) est libre (valeurs propres distinctes) et la matrice de passage est triangulaire inversible. A est faux, car la famille est libre.
• Q39 – A. (A+B)* = A+B ; C2* = −iA + (2−3i)B ≠ C2 ; (AB)* = BA ≠ AB.
• Q40 – A. ⟨x²⟩ = ⟨x³⟩ ⇔ n/pgcd(2,n) = n/pgcd(3,n) ⇔ pgcd(2,n) = pgcd(3,n) = 1 ⇔ n premier avec 6.
• Q41 – A. g'(t) = 2t·f_x + 2·f_y en (t², 2t) = 2t·2t(2t+1)e^{2t³} + 2t²(4t+1)e^{2t³} = (16t³ + 6t²)e^{2t³} = 2t²(8t+3)e^{2t³}.
• Q42 – B. L'adhérence d'une union finie est l'union des adhérences.
• Q43 – A.
• Q44 – C. χ_M(λ) = (4−λ)[λ² − (b+3)λ − 3b − 2], de discriminant b² + 18b + 17 = (b+1)(b+17) ≥ 0 ⇔ b ≤ −17 ou b ≥ −1. Parmi les choix, seul b ≤ −17 convient (l'énoncé nomme la matrice tantôt M, tantôt A).
• Q45 – C. Noyau de la forme linéaire non nulle x ↦ ⟨x,u⟩.
• Q46 – A. Le cercle et la droite imaginaire sont connexes (par arcs) ; A∩B = {i, −i} ne l'est pas.
• Q47 – A. f(x,y) = (x, 2x − y + 4) et A² = I ; les points fixes vérifient y = 2x − y + 4, soit y = x + 2.
• Q48 – B. a = 1 (en 0), c = 5 (en −1), et b + c = 3 (comportement à l'infini), donc b = −2.
• Q49 – B. Ce sont les classes premières avec 9.
• Q50 – C. u ∧ v = (5, −3, 1) ; on vérifie 5 − 6 + 1 = 0 et −5 + 3 + 2 = 0.
• Q51 – C. On résout a + b + c = 1, −b + c = 0, −a − 2b − 2c = −2 : a = 0, b = c = 1/2.
• Q52 – C. x*x = x + ln 2 et x*(x*x) = ln(3e^x) = x + ln 3 = 1, donc x = 1 − ln 3.
• Q53 – (à vérifier). ∫_0^1 ln x/(1−x²) dx = −Σ 1/(2n+1)² = −π²/8, donc la proposition B vaut −π²/6 telle qu'écrite (π²/6 si les bornes sont de 1 à 0). Les autres valent : A = 2π²/9, C = π²/24, D = (π/6) ln 2. La réponse attendue est probablement B (erreur de bornes).
• Q54 – B. |x²y/(x²+y²)| ≤ |y| → 0. A et C n'ont pas de limite, et D n'est pas définie pour y = 0.
• Q55 – C. α = (B'−A')/(B−A) = (−2−2i)/(1−i) = −2i (rapport 2, angle −π/2) ; on vérifie C' = A' + α(C−A) = 3 − i. β = A' − α = 1 + i et Ω = β/(1−α) = (1+i)/(1+2i) = (3 − i)/5.
• Q56 – (à vérifier). |Γ'(t)|² = 8 − 8cos t = 16 sin²(t/2), donc L = ∫_0^π 4 sin(t/2) dt = 8. Aucune des propositions (2π, 4π, 6π, 8π) ne correspond ; vérifier l'énoncé original.
• Q57 – D. ln est concave et 49/101 + 52/101 = 1 : ln(λX + μY) ≥ λ ln X + μ ln Y = ln 35 + ln 58 = ln 2030.
• Q58 – B. Avec x = 1 + 2y : φ(y) = 4y + 4y² − 4y³, φ'(y) = −4(3y+1)(y−1). On a φ''(1) < 0, donc un maximum local en (3,1) ; le minimum en (1/3,−1/3) n'est que local, car φ → −∞.
• Q59 – D. Moyenne pondérée.
• Q60 – A. A(5I − A) = 4I, donc A⁻¹ = (5I − A)/4, de première ligne (3,−1,−1)/4 : x0 = (15 + 2 − 4)/4 = 13/4.